ブロック行列の逆行列(応用2・一般のブロック行列)

ブロック行列の逆行列は、ブロック行列を

ブロック対角行列
対角成分が単位行列のブロック三角行列

の積に分解し、次の3種類の逆行列公式を用いて計算する。

$\begin{bmatrix}A & O \\ O & D \\ \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix}A^{-1} & O \\ O & D^{-1} \\ \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix}I & X \\ O & I \\ \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix}I & -X \\ O & I \\ \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix}I & O \\ X & I \\ \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix}I & O \\ -X & I \\ \end{bmatrix}$

今回は、一般のブロック行列
$\begin{bmatrix} A & B \\ C & D \\ \end{bmatrix}$
の行列式を求める。

小行列 $A$ について、逆行列 $A^{-1}$ が存在している場合、ブロック行列のLDU分解を用いる。

まずこのブロック行列はブロック対角行列とブロック三角行列の積で表されるとして、
$\begin{bmatrix} A & B \\ C & D \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I & O \\ X & I \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} P & Q \\ O & R \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} P & Q \\ XP & XQ+R \\ \end{bmatrix}$
成分を比較すると、 $P=A, Q=B, X=CA^{-1}, R=D-CA^{-1}B$ となるので、
$\begin{bmatrix} A & B \\ C & D \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I & O \\ CA^{-1} & I \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A & B \\ O & D-CA^{-1}B \\ \end{bmatrix}$
とLU分解できた。さらに右辺をブロック対角行列とブロック上三角行列の積にすると、
$\begin{bmatrix} A & B \\ C & D \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I & O \\ CA^{-1} & I \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A & O \\ O & D-CA^{-1}B \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I & A^{-1}B \\ O & I \\ \end{bmatrix}$
と、上の3種類の行列の積にLDU分解できた。
あとは、 $S = D-CA^{-1}B$ として、逆行列の積の公式を用いると、
$\begin{bmatrix} A & B \\ C & D \\ \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} I & -A^{-1}B \\ O & I \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A^{-1} & O \\ O & S^{-1} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I & O \\ -CA^{-1} & I \\ \end{bmatrix}$
となる。
なお、右辺の積を計算することで、
$\begin{bmatrix} A & B \\ C & D \\ \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} A^{-1}+A^{-1}BS^{-1}CA^{-1} & -A^{-1}BS^{-1} \\ -S^{-1}CA^{-1} & S^{-1} \\ \end{bmatrix}$
が得られる。